Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer
Beranda / Matematika / MIPA

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Cara Menyusun, Penyelesaian, Contoh Soal

Oleh Iman Jihad Fadillah Posting Komentar

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) merupakan salah satu topik matematika yang seringkali diajarkan di sekolah menengah atas. SPLTV adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari tiga variabel atau lebih, dan kunci utama dari pembelajaran SPLTV adalah bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan tersebut. Dalam artikel ini, kita akan membahas mengenai konsep SPLTV dan cara-cara penyelesaiannya.

Outline Artikel

Pendahuluan

Sebelum kita membahas lebih jauh mengenai SPLTV, alangkah baiknya jika kita mengingat kembali konsep persamaan linear. Persamaan linear adalah persamaan yang terdiri dari suatu variabel atau lebih, yang tiap variabelnya memiliki pangkat 1 dan tidak ada pangkat lebih dari itu. Contoh persamaan linear adalah seperti 2x + 3y = 5 atau 4x - 2y + 3z = 10.

Ketika kita membahas SPLTV, kita akan menemukan persamaan linear yang terdiri dari tiga variabel atau lebih, dan perlu dicari nilai dari masing-masing variabel agar dapat memenuhi semua persamaan linear tersebut. SPLTV seringkali digunakan dalam kehidupan sehari-hari, seperti dalam masalah keuangan atau dalam masalah teknik.

Menyusun dan Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Untuk memahami SPLTV, kita perlu memahami cara menyusun persamaan linear terlebih dahulu. Misalkan kita memiliki tiga bilangan yang tidak diketahui, kita bisa menyusun persamaan linear seperti berikut:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Ketika kita memiliki persamaan linear seperti di atas, kita perlu mencari nilai dari masing-masing variabel agar semua persamaan tersebut terpenuhi.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan tiga variabel. Penyelesaian SPLTV dapat dilakukan dengan beberapa cara, di antaranya adalah cara eliminasi, cara substitusi, dan cara eliminasi & substitusi.

Cara Eliminasi

Cara eliminasi adalah salah satu metode penyelesaian SPLTV dengan cara mengeliminasi satu variabel dalam setiap tahap penyelesaian. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Pilih dua persamaan yang akan digunakan untuk mengeliminasi satu variabel.
  2. Pilih variabel yang akan dieliminasi dan cari faktor skalar untuk memastikan bahwa koefisien variabel tersebut akan saling tereliminasi.
  3. Eliminasi variabel tersebut dan dapatkan persamaan baru yang hanya mengandung dua variabel.
  4. Teruskan proses eliminasi pada dua variabel yang tersisa hingga diperoleh nilai variabel yang memenuhi ketiga persamaan linear.

Cara Substitusi

Cara substitusi adalah metode penyelesaian SPLTV dengan cara menyederhanakan satu persamaan dan mencari nilai variabel yang dapat digunakan untuk mengganti variabel yang bersesuaian di persamaan lain. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Pilih salah satu variabel yang akan dihilangkan dan cari persamaan linear yang mengandung variabel tersebut.
  2. Selesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan satu variabel sebagai fungsi dari dua variabel lainnya.
  3. Ganti variabel yang dihilangkan dengan fungsi dari dua variabel lainnya di persamaan lain.
  4. Dapatkan nilai variabel yang memenuhi persamaan linear yang telah disederhanakan tadi.

Cara Eliminasi & Substitusi

Cara eliminasi & substitusi adalah kombinasi dari kedua metode sebelumnya. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Lakukan eliminasi pada dua variabel tertentu untuk mendapatkan persamaan yang mengandung satu variabel.
  2. Selesaikan persamaan yang mengandung satu variabel tersebut untuk mendapatkan satu variabel sebagai fungsi dari variabel yang lain.
  3. Gantikan nilai variabel yang dieliminasi dengan fungsi dari variabel lainnya di persamaan lain.
  4. Dapatkan nilai variabel yang memenuhi ketiga persamaan linear.
  5. Rangkuman

SPLTV merupakan sistem persamaan linear yang mengandung tiga variabel. SPLTV dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, substitusi, atau kombinasi keduanya. Pada metode eliminasi, variabel yang dieliminasi harus dipilih dengan tepat dan harus dicari faktor skalar yang tepat untuk mengeliminasi variabel tersebut. Pada metode substitusi, salah satu variabel harus dihilangkan dan persamaan linear harus disederhanakan sehingga satu variabel dapat dijadikan fungsi dari variabel lainnya

Contoh Soal

Seorang penjual beras mencampur tiga jenis beras. Campuran beras pertama terdiri atas 1 kg jenis A, 2 kg jenis B, dan 3 kg jenis C dijual dengan harga Rp 19.500,00. Campuran beras kedua terdiri dari 2 kg jenis A dan 3 kg jenis B dijual dengan harga Rp 19.000,00. Campuran beras ketiga terdiri atas 1 kg jenis B dan 1 kg jenis C dijual dengan harga Rp 6,250,00. Harga beras jenis manakah yang paling mahal?

Solusi

Untuk menyelesaikan permasalahan ini, kita harus menentukan harga tiap jenis beras terlebih dahulu.

Misalkan harga 1 kg beras jenis A adalah a, harga 1 kg beras jenis B adalah b, dan harga 1 kg beras jenis C adalah c. Dari informasi yang diberikan, kita dapat menyusun sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut:

Persamaan 1: a + 2b + 3c = 19500

Persamaan 2: 2a + 3b = 19000

Persamaan 3: b + c = 6250

Sekarang kita akan menggunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan sistem persamaan ini.

Langkah 1: Mengeliminasi variabel a pada Persamaan 2 dengan Persamaan 1.

Persamaan 1: a + 2b + 3c = 19500  x 2             ->          2a + 4b + 6c = 39000

Persamaan 2:                                                                     2a + 3b = 19000

                                                                                            ---------------------------- ( - )

                                                                                               b + 6c = 20000

Langkah 2: Mengeliminasi variabel b pada Persamaan 1 dengan Persamaan 3

Persamaan 1: a + 2b + 3c = 19500                    a + 2b + 3c = 19500

Persamaan 3: b + c = 6250         x 2       ->               2b + 2c = 12500

                                                                                 ------------------------- (-)

                                                                                 a + c = 7000

Langkah 3: Kita mempunyai 3 persamaan baru 2 variabel

Persamaan Baru 1:           b + 6c = 20000

Persamaan Baru 2:          a + c = 7000

Persamaan 3:                     b + c = 6250

 

Langkah 4: Subtitusi Persamaan Baru 1 dan Pesamaan 3

b + c = 6250             ->        b = 6250 – c

b + 6c = 20000       ->        (6250 – c) + 6c = 20000

                                                5c = 13750

                                                c = 13750 / 5

                                                c = 2750

Langkah 5: Hitung nilai a dari persamaan 2:

a + c = 7000            ->        a = 7000 – c

                                                a = 7000 – 2750

                                                a = 4250

Langkah 6: Hitung nilai b dari persamaan 3

b + c = 6250             ->        b = 6250 – c

                                                b = 6250 – 2750

                                                b = 3500

Kesimpulan: sehingga didapatkan kesimpulan nilai nilai masing-masing adalah

a = 4250

b = 3500

c = 2750

Posting Komentar untuk "Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Cara Menyusun, Penyelesaian, Contoh Soal"